2021年南平事业单位笔试备考：不定方程的解题思路

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　　不定方程(组)是指未知数个数多于方程个数，不能通过一般的消元法直接得到唯一解，常与差倍比问题、利润问题等热门考点相结合，故需要考生们在备考的过程中加以重视。今天与大家一起探讨一下行测考试中不定方程(组)的解题思路。

　　不定方程(组)包含不定方程与不定方程组，而根据题目条件对未知数是否必须为整数的限制，可以将不定方程组分为限定性不定方程组和非限定性不定方程组。前者指未知数必须为正整数，后者则无此要求。两种类型的不定方程组问题都有其固定的解题思路，方法性与技巧性比较强，掌握相应的思路去解题便会事半功倍。

　　不定方程

　　题型特征：根据题干可列出一个包含两个未知数的方程

　　解题方法：首先分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，然后尝试代入排除

　　例1.【2015联考】每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动，已知去A地每人往返车费20元，人均植树5棵，去B地每人往返车费30元，人均植树3棵，设到A地有员工x人，A、B两地共植树y棵，y与x之间满足y=8x-15，若往返车费总和不超过3000元时，那么，最多可植树多少棵?

　　A.498

　　B.400

　　C.489

　　D.500

　　【解题思路】已知植树棵数 y=8x-15，一个方程两个未知数为不定方程，8x为偶数，15为奇数，偶数-奇数=奇数，则y为奇数，排除A、B、D项，正确答案为C。

　　【点评】本题若采用常规解方程的方法也可解题，但耗费时间久，不适合考场使用。本题不需要算车费等其他数值，因此可利用数字特性直接锁定答案。

　　不定方程组

　　1.限定性不定方程组

　　题型特征：可根据题意列出方程组，未知数多于方程数，且未知数必须为正整数，常用来表示人数、盒子或者其他物体的个数等

　　解题方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解

　　例1.【2017江苏】小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总成绩为75环，则命中10环的子弹数是：

　　A.1 发 B.2 发

　　C.3 发 D.4 发

　　【解题思路】设命中10环、8环、5环的子弹数分别为正整数x、y、z。由子弹总数为10发，总环数为75环，可列不定方程组：

　　x+y+z=10……①;

　　10x+8y+5z=75……②;

　　求命中10环子弹数x，由②-①×5可得不定方程5x+3y=25。5x、25均为5倍数，3y也必然为5倍数，y只能为5，此时x=2,正确答案为B。

　　【点评】将不定方程组消元变为不定方程时，求谁保留谁，消掉另外两个未知数中较好计算的一个。本题也可直接分析方程②，10x+8y+5z=75中，10x、5z、75均为5的倍数，则8y一定也是5的倍数，y=5、10、15…，加和不能超过 75，则 y=5，代入求解同样可以锁定B项。但该方法有局限性，如当z的系数为6时无法使用，需要根据具体题目具体分析。

　　例2.【2018四川下】某企业采购A类、B类和C类设备各若干台，21台设备共用48万元。已知A、B、C类设备的单价分别为1.2万元、2万元和2.4万元。问该企业最多可能采购了多少台C类设备?

　　A. 16

　　B. 17

　　C. 18

　　D. 19

　　【解题思路】设该企业采购A类、B类和C类设备数量分别为A、B、C。已知“21台设备共用48万元”，则A+B+C=21……①，1.2A+2B+2.4C=48……②。联立两式，②×5-①×6可得：4B+6C=114，化简得：2B+3C=57。由于设备购买数量一定是不为零的整数，根据倍数特性，57和3C均可以被3整除，则2B一定可以被3整除。若要C类设备最多即B最小，B最小为3，代入原式可得：C=17，A=1，符合题意。因此该企业最多可能采购了17台C类设备，正确答案为B。

　　【点评】消元时也可消掉B，②-①×2可得：-0.8A+0.4C=6，约分得：-2A+C=15，即C-2A=15。2A为偶数，15为奇数，奇数-偶数=奇数，则C必须是奇数，排除A、C项。剩二代一，题干要求“最多”，因此从最大的选项开始代入，代入D项：19-2A=15，解得 A=2，B=0，由于设备购买数量一定是不为零的整数，故B≠0，排除D项。提示大家，正确答案有且仅有一个，排除掉三个错误答案后，剩下的一定为正确答案，无需再次验证。

　　2.非限定性不定方程组

　　题型特征：可根据题意列出方程组，未知数多于方程数，且未知数不一定为正整数，常指物品的价格、工作的时间等，需要求解的是一组未知数的和。

　　解题方法：特值法(赋零)或配系数法

　　当未知数表示时间和钱，可以为小数，这样的方程组有无数组解，有好多解都满足方程，随便找一组即可，而0最简单，因此可以用赋零法。建议使用时让最复杂的未知数为0，代入进行计算。而配系数法中系数是凑出来的，若考场上无法凑出来，则无法求解，因此建议用赋零法解题。

　　例1.【2016春季联考】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时?

　　A. 47.5

　　B. 50

　　C. 52.5

　　D. 55

　　【解题思路】假设每张桌子、凳子、椅子的所需时间分别为a小时、b小时、c小时，则2a+4b=10、4a+8c=22，化简得到a+2b=5①，a+2c=5.5②，①+②=2a+2b+2c=10.5，则10(a+b+c)=52.5，所需时间52.5小时，正确答案为C。

　　【点评】本题中未知数为时间，时间不一定是整数，且要求的量为一组数的和，若考生数字敏感性较差，无法通过配系数求解，也可用赋零法解题。赋值a=0，原方程组可转化为4b=10，8c=22，4(b+c)=21,10(a+b+c)=52.5。

　　【例2】【2018上海】现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、 丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需多少元?

　　A. 50

　　B. 100

　　C. 150

　　D. 200

　　【解题思路】根据题干条件，假设甲、乙、丙的价格依次是x、y、z元，则根据题意可列方程组：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②。赋丙的价格为0，即z=0。原方程组转化为x+3y=200;2x+5y=350，解得：x=50，y=50。可得：x+y+z=50+50+0=100元,正确答案为B。

　　【点评】若采用配系数法，可将原方程组：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②，①×3得：3x+9y+21z=600③，②×2：4x+10y+22z=700④，④-③解得 x+y+z=100。配系数法不是每道题都适用，需要较强的数字敏感度，建议优先掌握赋零法。

　　掌握不定方程(组)的解法可有效提高和差倍比、经济利润、年龄问题等常考题型的解题速度与正确率，建议各位考生加强练习，熟练运用。